Ett exempel över en linjär homogen differential ekvation av tredje ordningen.
Exempel 1:
Finn lösningen till differential ekvationerna
a) y´´´(x) + 2y´´(x) - 3y´(x) = 0
b) y´´´(x) - 8y(x) = 0
Lösning 1a:
Använd den specifika lösningen
y(x) = exp(rx)
y´(x) = rexp(rx)
y´´(x) = r²exp(rx)
y´´´(x) = r³exp(rx)
Substituera in dem i differential ekvationen
r³exp(rx) + 2r²exp(rx) - 3rexp(rx) = 0
⇔ r(r² + 2r - 3) = 0
Vi kommer att få fram att
r = 0, r = 1 och r = - 3
Den allmänna lösningen kommer att bli
y(x) = A + Bexp(x) + Cexp(-3x)
Lösning 1b:
y´´´(x) - 8y(x) = 0
r³exp(rx) - 8exp(rx) = 0 ⇔ r³ = 8
⇒r = 2, r = 2(cos120 + isin120) = - 1 + i√3 och r = - 1 - i√3
Lösningen till differential ekvationen kommer att bli,
y(x) = Aexp(2x) + Bexp((-1 + i√3)x) + Cexp(-(1 + i√3)x)
= Aexp(2x) + exp(-x)*(Dcos(√3x) + Esin(√3x))
IN ENGLISH:
One example over a linear homogen differential equation of third order.
Example 1:
Find the solution to the differential equation
a) y´´´(x) + 2y´´(x) - 3y´(x) = 0
b) y´´´(x) - 8y(x) = 0
Solution 1a:
Use the specific solution
y(x) = exp(rx)
y´(x) = rexp(rx)
y´´(x) = r²exp(rx)
y´´´(x) = r³exp(rx)
Substitute them in the differential equation
r³exp(rx) + 2r²exp(rx) - 3rexp(rx) = 0
⇔ r(r² + 2r - 3) = 0
Thereafter three different r is
r = 0, r = 1 och r = - 3
The general solution will be
y(x) = A + Bexp(x) + Cexp(-3x)
Solution 1b:
y´´´(x) - 8y(x) = 0
r³exp(rx) - 8exp(rx) = 0 ⇔ r³ = 8
⇒r = 2, r = 2(cos120 + isin120) = - 1 + i√3 och r = - 1 - i√3
The solution to the differential equation will be,
y(x) = Aexp(2x) + Bexp((-1 + i√3)x) + Cexp(-(1 + i√3)x)
= Aexp(2x) + exp(-x)*(Dcos(√3x) + Esin(√3x))
söndag 8 februari 2015
Lektion 1, del 7 linjära homogena differential ekvationer av ordningen 2
Här tar vi upp några exempel,
Exempel 1:
Lös differential ekvationen
a) y´´(x) - 4y(x) = 0
b) y´´(x) + 4y(x) = 0
c) Finn de speciella lösningarna för ovanstående differentialekvationerna med villkoren y(0) = 1 och y´(0) = 0
Lösning 1a:
y´´(x) - 4y(x) = 0
Använd den specifika lösningen y(x) = exp(rx)
((d²)/(dx²))exp(rx) - 4exp(rx) = 0 ⇔ r² - 4 = 0
r² = 4 ⇒ r = ±2
Lösningen till differential ekvationen är
y(x) = Aexp(2x) + Bexp(-2x)
Lösning 1b:
y´´(x) + 4y(x) = 0
((d²)/(dx²))exp(rx) + 4exp(rx) = 0 ⇔ r² + 4 = 0
r² = - 4 ⇒ r = ±2i
y(x) = Aexp(2ix) + Bexp(-2ix) = Ccos(x) + Dsin(x)
Lösning 1c:
Med lösningen ifrån a)
y(x) = Aexp(2x) + Bexp(-2x)
y(0) = A + B = 1 (1)
y´(0) = 2A - 2B = 0 (2)
Från (2) ger att A = B
Substituera in i (1)
A + B = A + A = 2A = 1 ⇔ A = 1/2 och att B = 1/2
Den speciella lösningen blir
y(x) = (1/2)*(exp(2x) + Bexp(-2))
Med lösningen ifrån b)
y(x) = Ccos(x) + Dsin(x)
y(0) = C = 1
y´(0) = - Csin(0) + Dcos(0) = 0
Ger att C = 1 och D = 0
Den speciella lösningen blir därmed
y(x) = Ccos(x)
Exempel 2:
Lös differential ekvationerna
a) y´´(x) + 2y´(x) = 0
b) y´´(x) + 2y´(x) - 3y(x) = 0
Lösning 2a:
y´´(x) + 2y´(x) = 0
Använd den speciella lösningen
y(x) = exp(rx)
y´(x) = rexp(rx)
y´´(x) = r²exp(rx)
r²exp(rx) + 2rexp(rx) = 0 ⇔ r(r + 2) = 0
r = 0 och r = - 2
Lösningen till differential ekvationen är
y(x) = A + Bexp(-2x)
Lösning 2b:
y´´(x) + 2y´(x) - 3y(x) = 0
Använd den speciella lösningen
y(x) = exp(rx)
y´(x) = rexp(rx)
y´´(x) = r²exp(rx)
r²exp(rx) + 2rexp(rx) - 3exp(rx) = 0
⇔ r² + 2r - 3 = 0
⇒ r = - 1 ± √(1+3) = - 1 ± 2
r = 1 och r = - 3
Lösningen till differential ekvationen är
y(x) = Aexp(x) + Bexp(-3x)
Nästa del kan vi ge oss på tredje ordningen och högre, några enkla exempel.
Exempel 1:
Lös differential ekvationen
a) y´´(x) - 4y(x) = 0
b) y´´(x) + 4y(x) = 0
c) Finn de speciella lösningarna för ovanstående differentialekvationerna med villkoren y(0) = 1 och y´(0) = 0
Lösning 1a:
y´´(x) - 4y(x) = 0
Använd den specifika lösningen y(x) = exp(rx)
((d²)/(dx²))exp(rx) - 4exp(rx) = 0 ⇔ r² - 4 = 0
r² = 4 ⇒ r = ±2
Lösningen till differential ekvationen är
y(x) = Aexp(2x) + Bexp(-2x)
Lösning 1b:
y´´(x) + 4y(x) = 0
((d²)/(dx²))exp(rx) + 4exp(rx) = 0 ⇔ r² + 4 = 0
r² = - 4 ⇒ r = ±2i
y(x) = Aexp(2ix) + Bexp(-2ix) = Ccos(x) + Dsin(x)
Lösning 1c:
Med lösningen ifrån a)
y(x) = Aexp(2x) + Bexp(-2x)
y(0) = A + B = 1 (1)
y´(0) = 2A - 2B = 0 (2)
Från (2) ger att A = B
Substituera in i (1)
A + B = A + A = 2A = 1 ⇔ A = 1/2 och att B = 1/2
Den speciella lösningen blir
y(x) = (1/2)*(exp(2x) + Bexp(-2))
Med lösningen ifrån b)
y(x) = Ccos(x) + Dsin(x)
y(0) = C = 1
y´(0) = - Csin(0) + Dcos(0) = 0
Ger att C = 1 och D = 0
Den speciella lösningen blir därmed
y(x) = Ccos(x)
Exempel 2:
Lös differential ekvationerna
a) y´´(x) + 2y´(x) = 0
b) y´´(x) + 2y´(x) - 3y(x) = 0
Lösning 2a:
y´´(x) + 2y´(x) = 0
Använd den speciella lösningen
y(x) = exp(rx)
y´(x) = rexp(rx)
y´´(x) = r²exp(rx)
r²exp(rx) + 2rexp(rx) = 0 ⇔ r(r + 2) = 0
r = 0 och r = - 2
Lösningen till differential ekvationen är
y(x) = A + Bexp(-2x)
Lösning 2b:
y´´(x) + 2y´(x) - 3y(x) = 0
Använd den speciella lösningen
y(x) = exp(rx)
y´(x) = rexp(rx)
y´´(x) = r²exp(rx)
r²exp(rx) + 2rexp(rx) - 3exp(rx) = 0
⇔ r² + 2r - 3 = 0
⇒ r = - 1 ± √(1+3) = - 1 ± 2
r = 1 och r = - 3
Lösningen till differential ekvationen är
y(x) = Aexp(x) + Bexp(-3x)
Nästa del kan vi ge oss på tredje ordningen och högre, några enkla exempel.
Lektion 1, del 6 linjära homogena differential ekvationen av andra ordningen
Då kan vi nu reda ut litegrann om andra ordningens homogena differential ekvationer som kan skrivas allmänt som
y´´(x) + ay´(x) + by(x) = 0
Låt oss nu enbart gissa att en specifik lösning är
y(x) = exp(rx)
Därmed efter substitution
((d²)/(dx²))exp(rx) + a(d/(dx))exp(rx) + bexp(rx) = 0 ⇔
r²exp(rx) + arexp(rx) + bexp(rx) = 0 ⇔ r² + ar + b = 0
Okej, vi ser att vi får fram en andragradsekvation där lösningarna kommer att vara,
r = - (a/2) ± √(((a/2))² - b)
Låt oss nu skriva att
c = ((a/2))² - b
Därefter
r = - (a/2) ± √c
Allmänna lösningen blir
y(x) = Aexp(- (a/2) + √c) + Bexp(- (a/2) - √c)
Nu får vi för olika fall beroende om vad c är och vi kommer för varje fall att skriva ut den allmänna lösningen.
Fall 1: Då c > 0
r(1) = - (a/2) + √c och r(2) = - (a/2) - √c
Lösningen för differentialekvationen kan nu skrivas som,
y(x) = Aexp(- (a/2) + √c) + Bexp(- (a/2) - √c)
Fall 2: Då c = 0
r = - (a/2)
r har enbart en lösning och lösningen till differentialekvationen blir
y(x) = Aexp(-(a/2))
Fall 3: Då c < 0
r(1) = - (a/2) + √c och r(2) = - (a/2) - √c
c är ju ett negativt tal, det vill säga roten ur ett negativ tal blir ett imaginärt tal, låt oss nu skriva att
c = - d där d är ett positivt tal och vi erhåller därmed att
r(1) = - (a/2) + i√d och r(2) = - (a/2) - i√d
Vi kan göra det ännu enklare genom att skriva att
e = √d
Därefter
r(1) = - (a/2) + ie och r(2) = - (a/2) - ie
Lösningen till differentialekvationen kommer att bli
y(x) = Aexp(- (a/2) + ie) + Bexp(- (a/2) - ie)
= exp(-(a/2))*(Aexp(ie) + Bexp(-ie))
= exp(-(a/2))*(Acos(e) + iAsin(e) + Bcos(e) - iBsin(e))
= exp(-(a/2))*((A + B)cos(e) + i(A - B)sin(e))
= exp(-(a/2))*(Ccos(e) + Dsin(e))
Det var för alla fallen, nästa gång för del 7 kan vi räkna med några exempel av linjära homogena differential ekvationer av andra ordningen.
y´´(x) + ay´(x) + by(x) = 0
Låt oss nu enbart gissa att en specifik lösning är
y(x) = exp(rx)
Därmed efter substitution
((d²)/(dx²))exp(rx) + a(d/(dx))exp(rx) + bexp(rx) = 0 ⇔
r²exp(rx) + arexp(rx) + bexp(rx) = 0 ⇔ r² + ar + b = 0
Okej, vi ser att vi får fram en andragradsekvation där lösningarna kommer att vara,
r = - (a/2) ± √(((a/2))² - b)
Låt oss nu skriva att
c = ((a/2))² - b
Därefter
r = - (a/2) ± √c
Allmänna lösningen blir
y(x) = Aexp(- (a/2) + √c) + Bexp(- (a/2) - √c)
Nu får vi för olika fall beroende om vad c är och vi kommer för varje fall att skriva ut den allmänna lösningen.
Fall 1: Då c > 0
r(1) = - (a/2) + √c och r(2) = - (a/2) - √c
Lösningen för differentialekvationen kan nu skrivas som,
y(x) = Aexp(- (a/2) + √c) + Bexp(- (a/2) - √c)
Fall 2: Då c = 0
r = - (a/2)
r har enbart en lösning och lösningen till differentialekvationen blir
y(x) = Aexp(-(a/2))
Fall 3: Då c < 0
r(1) = - (a/2) + √c och r(2) = - (a/2) - √c
c är ju ett negativt tal, det vill säga roten ur ett negativ tal blir ett imaginärt tal, låt oss nu skriva att
c = - d där d är ett positivt tal och vi erhåller därmed att
r(1) = - (a/2) + i√d och r(2) = - (a/2) - i√d
Vi kan göra det ännu enklare genom att skriva att
e = √d
Därefter
r(1) = - (a/2) + ie och r(2) = - (a/2) - ie
Lösningen till differentialekvationen kommer att bli
y(x) = Aexp(- (a/2) + ie) + Bexp(- (a/2) - ie)
= exp(-(a/2))*(Aexp(ie) + Bexp(-ie))
= exp(-(a/2))*(Acos(e) + iAsin(e) + Bcos(e) - iBsin(e))
= exp(-(a/2))*((A + B)cos(e) + i(A - B)sin(e))
= exp(-(a/2))*(Ccos(e) + Dsin(e))
Det var för alla fallen, nästa gång för del 7 kan vi räkna med några exempel av linjära homogena differential ekvationer av andra ordningen.
lördag 7 februari 2015
Lektion 1, del 5, linjära homogena differential ekvationer, eulers formel och komplexa tal
Komplexa talet:
Okej, då bör vi lära oss lite verktyg för att kunna hantera andra ordningens linjära homogena differential ekvationer. Det blir lite som repetition. Då kan vi fråga oss om vad
√(-1) = ?
Den här som man vet har ingen lösning i form av reella tal utan vi måste definiera ett nytt tal som kallas för ett imaginärt tal som beskrivs oftast med ett "i" (ibland j).
√(-1) = i
Det här är alltså definitionen för ett imaginärt tal. Med vad är då ett komplex tal, oftast skrivs ett komplex tal som
z = x + iy
Där x och y är reella tal.
Härledning av Eulers formel:
Låt oss undersöka exponentialfunktionen med det komplexa talet z.
exp(z) = exp(x + iy) = exp(x)exp(iy)
Låt oss först med hjälp av polynom visa att detta stämmer.
exp(x+iy) = 1 + (x+iy) + (1/2)(x+iy)² + (1/6)(x+iy)³ +...
= 1 + x + iy + (1/2)x² + ixy + (1/2)(iy)² + (1/6)x³ + (1/2)x²(iy) + (1/2)x(iy)² + (1/6)(iy)³ +...
= (1 + x + (1/2)x² + (1/6)x³ +...)∗1 + (1 + x + (1/2)x² +...)∗iy + (1 + x +...)∗(1/2)(iy)² + (1 +...)∗(1/6)(iy)³ +...
= (1 + x + (1/2)x² + (1/6)x³ +...)∗(1 + iy + (1/2)(iy)² + (1/6)(iy)³ +...) = exp(x)exp(iy)
Nu kan vi bearbeta med exp(iy) för att se om man kan skriva om denna på något sett? Låt oss åter igen polynomisera denna,
exp(iy) = 1 + (iy) + (1/(2!))(iy)² + (1/(3!))(iy)³ + (1/(4!))(iy)⁴+ (1/(5!))(iy)⁵ + (1/(6!))(iy)⁶ +...
= 1 + (iy) - (1/(2!))y² - (1/(3!))iy³ + (1/(4!))y⁴+(1/(5!))iy⁵ - (1/(6!))y⁶ +...
= (1 - (1/(2!))y² + (1/(4!))y⁴- (1/(6!))y⁶ +...) + i(y - (1/(3!))y³ + (1/(5!))y⁵ +...)
Vi kan nu använda oss av funktionerna
cos(y) = 1 - (1/(2!))y² + (1/(4!))y⁴- (1/(6!))y⁶ +... och
sin(y) = y - (1/(3!))y³ + (1/(5!))y⁵ +...
Då kan vi skriva
exp(iy) = cos(y) + isin(y)
Det här är faktiskt Eulers formel vilket är väldigt användbar, i många och många sammanhang. Används väldigt ofta även inom fysikvärlden. Den exponentiella funktionen med det komplexa talet z kan nu skrivas
exp(z) = exp(x)exp(iy) = exp(x)*( cos(y) + isin(y))
Nu kan vi känna oss redo att lösa linjära homogena differential ekvationer av ordningen 2.
Okej, då bör vi lära oss lite verktyg för att kunna hantera andra ordningens linjära homogena differential ekvationer. Det blir lite som repetition. Då kan vi fråga oss om vad
√(-1) = ?
Den här som man vet har ingen lösning i form av reella tal utan vi måste definiera ett nytt tal som kallas för ett imaginärt tal som beskrivs oftast med ett "i" (ibland j).
√(-1) = i
Det här är alltså definitionen för ett imaginärt tal. Med vad är då ett komplex tal, oftast skrivs ett komplex tal som
z = x + iy
Där x och y är reella tal.
Härledning av Eulers formel:
Låt oss undersöka exponentialfunktionen med det komplexa talet z.
exp(z) = exp(x + iy) = exp(x)exp(iy)
Låt oss först med hjälp av polynom visa att detta stämmer.
exp(x+iy) = 1 + (x+iy) + (1/2)(x+iy)² + (1/6)(x+iy)³ +...
= 1 + x + iy + (1/2)x² + ixy + (1/2)(iy)² + (1/6)x³ + (1/2)x²(iy) + (1/2)x(iy)² + (1/6)(iy)³ +...
= (1 + x + (1/2)x² + (1/6)x³ +...)∗1 + (1 + x + (1/2)x² +...)∗iy + (1 + x +...)∗(1/2)(iy)² + (1 +...)∗(1/6)(iy)³ +...
= (1 + x + (1/2)x² + (1/6)x³ +...)∗(1 + iy + (1/2)(iy)² + (1/6)(iy)³ +...) = exp(x)exp(iy)
Nu kan vi bearbeta med exp(iy) för att se om man kan skriva om denna på något sett? Låt oss åter igen polynomisera denna,
exp(iy) = 1 + (iy) + (1/(2!))(iy)² + (1/(3!))(iy)³ + (1/(4!))(iy)⁴+ (1/(5!))(iy)⁵ + (1/(6!))(iy)⁶ +...
= 1 + (iy) - (1/(2!))y² - (1/(3!))iy³ + (1/(4!))y⁴+(1/(5!))iy⁵ - (1/(6!))y⁶ +...
= (1 - (1/(2!))y² + (1/(4!))y⁴- (1/(6!))y⁶ +...) + i(y - (1/(3!))y³ + (1/(5!))y⁵ +...)
Vi kan nu använda oss av funktionerna
cos(y) = 1 - (1/(2!))y² + (1/(4!))y⁴- (1/(6!))y⁶ +... och
sin(y) = y - (1/(3!))y³ + (1/(5!))y⁵ +...
Då kan vi skriva
exp(iy) = cos(y) + isin(y)
Det här är faktiskt Eulers formel vilket är väldigt användbar, i många och många sammanhang. Används väldigt ofta även inom fysikvärlden. Den exponentiella funktionen med det komplexa talet z kan nu skrivas
exp(z) = exp(x)exp(iy) = exp(x)*( cos(y) + isin(y))
Nu kan vi känna oss redo att lösa linjära homogena differential ekvationer av ordningen 2.
Lektion 1, del 4 några exempel av linjära homogena differential ekvationer
Okej då kan vi ta upp några exempel och visa hur man mer praktiskt och enkelt kan lösa differential ekvationer av ordningen 1. Vi kommer också att gå igenom om hur man hanterar villkor.
Exempel 1:
a ) Lös den linjära homogena differential ekvationen
y´(x) - 2y(x) = 0
b) Lös den linjära homogena differential ekvationen
y´(x) + 5y(x) = 0
Lösning 1a:
Då kan vi använda oss av formeln ifrån lektion 1, del 3 som är
y(x) = Aexp(rx)
Substituera in den i differentialekvationen
(d/dx)(Aexp(rx) - 2Aexp(rx) = 0
Arexp(rx) - 2Aexp(rx) = 0
r - 2 = 0
r = 2
Den allmänna lösningen blir därmed
y(x) = Aexp(2x)
Lösning 1b:
Använd åter igen samma formel för den här differential ekvationen
(d/dx)(Aexp(rx)) + 5Aexp(rx) = 0
Arexp(rx) + 5Aexp(rx) = 0
r + 5 = 0
r = - 5
Den allmänna lösningen för differential ekvationen är därmed
y(x) = Aexp(-5x)
Genom gång av villkor:
Med hjälp av villkor kan vi ta reda på den speciella lösningen av en differential ekvation, det vill säga att ta reda på om vad A är. Låt oss nu säga att x = u och det kommer ge att y = v, där u och v är tal. Vi kan nu formulera villkoret som
y(u) = v
Den generella differentialekvationen av första ordningen var
y´(x) + ay(x) = 0
och den allmänna lösningen till denna är (se lektion 1, del 3)
y(x) = Aexp(-ax)
Nu kan vi använda oss av villkoret y(u) = v
y(u) = Aexp(-au) = v
A = vexp(au)
Därmed kan vi finna den speciella lösningen som
y(x) = vexp(au)exp(-ax) = vexp(a(u - x))
Nu kan vi göra ett exempel om detta
Exempel 2:
Lös differential ekvationen
y´(x) + 10y(x) = 0
med villkoren
a) y(0) = 1
b y(3) = -1
Lösning 2:
Den allmänna lösningen för differential ekvationen blir
(d/dx)(Aexp(rx)) + 10Aexp(rx) = 0
r + 10 = 0
r = - 10
y(x) = Aexp(-10x)
a) y(0) = 1
y(0) = A = 1
Den speciella lösningen blir
y(x) = exp(-10x)
b) y(3) = - 1
y(3) = Aexp(-30) = - 1
A = - exp(30)
Den speciella lösningen blir därefter
y(x) = - exp(10(-x + 3))
Exempel 3:
Lös differential ekvationen
y´(x) = f(u)y(x)
Med villkoret y(2) = 2
Lösning 3:
Här skulle man kunna lura sig på funktionen f vilket är beroende av variabeln u, men det är funktionen y som vi söker efter som är beroende av variabeln x. Det innebär att funktionen f kan enbart hanteras som en konstant och det inte heller den vi söker efter.
Den allmänna lösningen blir därmed
(d/dx)(Aexp(rx)) = aAexp(rx)
Där vi även har skrivit att f(u) = a
r = a
y(x) = Aexp(ax)
Med villkoret y(2) = 2
y(2) = Aexp(2a) = 2
A = 2exp(-2a)
Den speciella lösningen kan nu skrivas som
y(x) = 2exp(a(x - 2)) = 2exp(f(u)(x - 2))
Nästa gång går vi igenom litegrann av ordningen 2. Därmed kommer flera roliga lösningar in och man kommer att utnyttja Eulers lag och använda sig av komplexa tal. Nästa del 5 kommer att vara en repetition över om vad komplexa tal är och lite tekniska hjälpmedel.
Exempel 1:
a ) Lös den linjära homogena differential ekvationen
y´(x) - 2y(x) = 0
b) Lös den linjära homogena differential ekvationen
y´(x) + 5y(x) = 0
Lösning 1a:
Då kan vi använda oss av formeln ifrån lektion 1, del 3 som är
y(x) = Aexp(rx)
Substituera in den i differentialekvationen
(d/dx)(Aexp(rx) - 2Aexp(rx) = 0
Arexp(rx) - 2Aexp(rx) = 0
r - 2 = 0
r = 2
Den allmänna lösningen blir därmed
y(x) = Aexp(2x)
Lösning 1b:
Använd åter igen samma formel för den här differential ekvationen
(d/dx)(Aexp(rx)) + 5Aexp(rx) = 0
Arexp(rx) + 5Aexp(rx) = 0
r + 5 = 0
r = - 5
Den allmänna lösningen för differential ekvationen är därmed
y(x) = Aexp(-5x)
Genom gång av villkor:
Med hjälp av villkor kan vi ta reda på den speciella lösningen av en differential ekvation, det vill säga att ta reda på om vad A är. Låt oss nu säga att x = u och det kommer ge att y = v, där u och v är tal. Vi kan nu formulera villkoret som
y(u) = v
Den generella differentialekvationen av första ordningen var
y´(x) + ay(x) = 0
och den allmänna lösningen till denna är (se lektion 1, del 3)
y(x) = Aexp(-ax)
Nu kan vi använda oss av villkoret y(u) = v
y(u) = Aexp(-au) = v
A = vexp(au)
Därmed kan vi finna den speciella lösningen som
y(x) = vexp(au)exp(-ax) = vexp(a(u - x))
Nu kan vi göra ett exempel om detta
Exempel 2:
Lös differential ekvationen
y´(x) + 10y(x) = 0
med villkoren
a) y(0) = 1
b y(3) = -1
Lösning 2:
Den allmänna lösningen för differential ekvationen blir
(d/dx)(Aexp(rx)) + 10Aexp(rx) = 0
r + 10 = 0
r = - 10
y(x) = Aexp(-10x)
a) y(0) = 1
y(0) = A = 1
Den speciella lösningen blir
y(x) = exp(-10x)
b) y(3) = - 1
y(3) = Aexp(-30) = - 1
A = - exp(30)
Den speciella lösningen blir därefter
y(x) = - exp(10(-x + 3))
Exempel 3:
Lös differential ekvationen
y´(x) = f(u)y(x)
Med villkoret y(2) = 2
Lösning 3:
Här skulle man kunna lura sig på funktionen f vilket är beroende av variabeln u, men det är funktionen y som vi söker efter som är beroende av variabeln x. Det innebär att funktionen f kan enbart hanteras som en konstant och det inte heller den vi söker efter.
Den allmänna lösningen blir därmed
(d/dx)(Aexp(rx)) = aAexp(rx)
Där vi även har skrivit att f(u) = a
r = a
y(x) = Aexp(ax)
Med villkoret y(2) = 2
y(2) = Aexp(2a) = 2
A = 2exp(-2a)
Den speciella lösningen kan nu skrivas som
y(x) = 2exp(a(x - 2)) = 2exp(f(u)(x - 2))
Nästa gång går vi igenom litegrann av ordningen 2. Därmed kommer flera roliga lösningar in och man kommer att utnyttja Eulers lag och använda sig av komplexa tal. Nästa del 5 kommer att vara en repetition över om vad komplexa tal är och lite tekniska hjälpmedel.
Lektion 1, del 3, allmän linjär homogen differential ekvation av ordningen 1
Nu blir det del 3 då vi ska finna lösningen för differential ekvationen
f´(x) + af(x) = 0
f´(x) = - af(x)
Nu kommer jag inte att gå in lika detaljerat eftersom alla trix vi använder här är detsamma som för lektion del 1 och del 2.
f´(x) = - af(x)
f(x) = 1+... och f´(x) = 0+...
f(x) = 1 + x +... och f´(x) = 1 +...
f´(x) = - af(x) ⇔ 1 +...= - a - ax+... nej
--> f(x) = 1 - ax + ... och f´(x) = - a +...
f´(x) = - af(x) ⇔ - a +... = - a + ax+...
f(x) = 1 - ax + (1/2)a²x² +... och f′(x) = - a + a²x +...
f´(x) = - af(x) ⇔ - a + a²x +... = - a + a²x - (1/2)a³x² +...
f(x) = 1 - ax + (1/2)a²x² - (1/6)a³x³ +... och f´(x) = - a + a²x - (1/2)a²x² +...
f´(x) = - af(x) ⇔ f´(x) = - a + a²x - (1/2)a²x² +... = - a + a²x - (1/2)a³x² + (1/6)a⁴x³+...
Okej, då kan vi redan nu se mönstret av den här funktionen,
f(x) = 1 - ax + (1/2)a²x² - (1/6)a³x³ +...
= (1/(0!))(-ax)⁰ + (1/(1!))(-ax)¹ + (1/(2!))(-ax)² + (1/(3!))(-ax)³ + ... = exp(-ax)
Okej den allmänna lösningen för den linjär homogena differentialekvationen
f´(x) + af(x) = 0
kan nu skrivas som
f(x) = Aexp(-ax)
Vi kan nu enkelt få ut våra tidigare fall och den första lektion 1 del 1 genom att sätta a = - 1 så att
f(x) = Aexp(x)
och ifrån lektion 1, del 2 genom att sätta a = 1
f(x) = Aexp(-x)
Eftersom den här allmänna lösningen gäller för alla av den här typen av differential ekvation så kan man nu formulera sig en formel, låt oss nu skriva att,
f(x) = Aexp(rx)
Där nu r är okänd, men formeln ovanför fungerar eftersom den satisfierar den allmänna lösningen. Okej låt oss nu substituera in denna formel i differential ekvationen
f´(x) + af(x) = Arexp(rx) + aAexp(rx) = 0 ⇔ r + a = 0 ⇔ r = - a
Den här formeln är någonting som man redan på gymnasienivån lär sig och det är nog den första typen av differentialekvationer som tas upp i en grundkurs av differentialekvationer. Hädanefter kommer vi att använda oss av den här formeln för att lösa några differentialekvationer som kommer att bli i nästa del 4 av lektionen. Vi kan även säga att det finns otroligt mycket enklare sätt att få fram samma formel, men genom en annan metod som kallas för den separabla metoden vilket vi senare kommer att visa.
f´(x) + af(x) = 0
f´(x) = - af(x)
Nu kommer jag inte att gå in lika detaljerat eftersom alla trix vi använder här är detsamma som för lektion del 1 och del 2.
f´(x) = - af(x)
f(x) = 1+... och f´(x) = 0+...
f(x) = 1 + x +... och f´(x) = 1 +...
f´(x) = - af(x) ⇔ 1 +...= - a - ax+... nej
--> f(x) = 1 - ax + ... och f´(x) = - a +...
f´(x) = - af(x) ⇔ - a +... = - a + ax+...
f(x) = 1 - ax + (1/2)a²x² +... och f′(x) = - a + a²x +...
f´(x) = - af(x) ⇔ - a + a²x +... = - a + a²x - (1/2)a³x² +...
f(x) = 1 - ax + (1/2)a²x² - (1/6)a³x³ +... och f´(x) = - a + a²x - (1/2)a²x² +...
f´(x) = - af(x) ⇔ f´(x) = - a + a²x - (1/2)a²x² +... = - a + a²x - (1/2)a³x² + (1/6)a⁴x³+...
Okej, då kan vi redan nu se mönstret av den här funktionen,
f(x) = 1 - ax + (1/2)a²x² - (1/6)a³x³ +...
= (1/(0!))(-ax)⁰ + (1/(1!))(-ax)¹ + (1/(2!))(-ax)² + (1/(3!))(-ax)³ + ... = exp(-ax)
Okej den allmänna lösningen för den linjär homogena differentialekvationen
f´(x) + af(x) = 0
kan nu skrivas som
f(x) = Aexp(-ax)
Vi kan nu enkelt få ut våra tidigare fall och den första lektion 1 del 1 genom att sätta a = - 1 så att
f(x) = Aexp(x)
och ifrån lektion 1, del 2 genom att sätta a = 1
f(x) = Aexp(-x)
Eftersom den här allmänna lösningen gäller för alla av den här typen av differential ekvation så kan man nu formulera sig en formel, låt oss nu skriva att,
f(x) = Aexp(rx)
Där nu r är okänd, men formeln ovanför fungerar eftersom den satisfierar den allmänna lösningen. Okej låt oss nu substituera in denna formel i differential ekvationen
f´(x) + af(x) = Arexp(rx) + aAexp(rx) = 0 ⇔ r + a = 0 ⇔ r = - a
Den här formeln är någonting som man redan på gymnasienivån lär sig och det är nog den första typen av differentialekvationer som tas upp i en grundkurs av differentialekvationer. Hädanefter kommer vi att använda oss av den här formeln för att lösa några differentialekvationer som kommer att bli i nästa del 4 av lektionen. Vi kan även säga att det finns otroligt mycket enklare sätt att få fram samma formel, men genom en annan metod som kallas för den separabla metoden vilket vi senare kommer att visa.
fredag 6 februari 2015
Lektion 1 del 2, linjära homogena ekvationer
Okej, då tänkte jag gå vidare med denna lektion som handlar om linjära homogena ekvationer. Och nu blir det differential ekvationen
f´(x) = - f(x)
Vi kommer fortfarande att arbeta med polynom och använder samma trix här som för förra fallet. Men det kommer att bli mindre detaljerad, men ändå noggrant som man kan följa efter. Låt oss skriva
f(x) = 1 +... och f´(x) = 0 +...
f(x) = 1 + x +... och f´(x) = 1 +...
Sätt in dessa i differential ekvationen,
f´(x)= - f(x)⇔1+...= - 1 - x+...
Nej den här blir inte korrekt, utan vi måste skriva om våran funktion som
f(x) = 1 - x +... och dess derivata blir f´(x) = - 1 +...
Sätt den nya funktionen in i differential ekvationen
f′(x)= - f(x)⇔ - 1 +...= - 1 + x +...
Nu blev den korrekt, låt oss fortsätta med nästa term, funktionen och dess derivata blir
f(x)=1 - x + x² +... och f′(x) = - 1 + 2x +...
f´(x) = - f(x)⇔ - 1 + 2x +...= - 1 + x - x² +...
Nej inte korrekt tips ifrån föra del lektionen då vi tog genom 2.
f(x)= 1 - x + (1/2)x² +... och f′(x) = - 1 + x +...
f´(x)= - f(x)⇔ - 1 + x+...= - 1 + x - x² +...
Nästa term och låt oss gissa med samma mönster som förra gången genom att ta genom 6 vilket säger sig självt egentligen då när vi deriverar denna så försvinner 3 och vi erhåller delat med 2 vilket blir detsamma som för tredje termen i funktionen,
f(x)= 1 - x + (1/2)x² + (1/6)x³... och f′(x)= - 1 + x + (1/2)x²...
f´(x)= - f(x)⇔- 1 + x+ (1/2)x²...= - 1 + x - (1/2)x²- (1/6)x³...
Nej fjärde termen blir i samma princip som för andra termen och våran funktion kan nu skrivas som
f(x) = 1 - x + (1/2)x² - (1/6)x³...
Det räcker nu för att kunna finna ett mönster och veta vad det här blir för en funktion, använd att
(-1)⁰,(-1)¹,(-1)²,(-1)³,...=1,-1,1,-1,...
Okej, vad är nu detta? Jo vi kan nu skriva om våran funktion som
f(x) = (-1)⁰∗1 + (-1)¹∗x + (1/2)(-1)²∗x² + (1/6)(-1)³∗x³...
Men för att lättare kunna arbeta och se med det här problemet kan vi faktisk definiera en ny funktion som jag kallar för u(x). Vi kan skriva den som,
u(x) = - x
Låt oss nu skriva om funktionen så att f(u(x)) = f(u)
f(u) = 1 + u + (1/2)u² + (1/6)u³...
En bekant polynomfunktion eller? Det är ju exakt identiskt med förra problemet och denna visar sig då vara en exponentialfunktion. Låt oss då skriva att
f(u) = exp(u) = 1 + u + (1/2)u² + (1/6)u³+...
Den funktion vi sökte är då
f(x) = exp(-x)
Då kan vi pröva denna i differentialekvationen,
f´(x) = - exp(-x) = - f(x)
Den här är korrekt och den allmänna lösningen kan nu enkelt skrivas som
f(x) = Aexp(-x)
Nästa problem kommer att vara den allmänna linjär homogena differential ekvation av ordningen 1. Det kommer jag att göra på lektion 1 del 3.
f´(x) = - f(x)
Vi kommer fortfarande att arbeta med polynom och använder samma trix här som för förra fallet. Men det kommer att bli mindre detaljerad, men ändå noggrant som man kan följa efter. Låt oss skriva
f(x) = 1 +... och f´(x) = 0 +...
f(x) = 1 + x +... och f´(x) = 1 +...
Sätt in dessa i differential ekvationen,
f´(x)= - f(x)⇔1+...= - 1 - x+...
Nej den här blir inte korrekt, utan vi måste skriva om våran funktion som
f(x) = 1 - x +... och dess derivata blir f´(x) = - 1 +...
Sätt den nya funktionen in i differential ekvationen
f′(x)= - f(x)⇔ - 1 +...= - 1 + x +...
Nu blev den korrekt, låt oss fortsätta med nästa term, funktionen och dess derivata blir
f(x)=1 - x + x² +... och f′(x) = - 1 + 2x +...
f´(x) = - f(x)⇔ - 1 + 2x +...= - 1 + x - x² +...
Nej inte korrekt tips ifrån föra del lektionen då vi tog genom 2.
f(x)= 1 - x + (1/2)x² +... och f′(x) = - 1 + x +...
f´(x)= - f(x)⇔ - 1 + x+...= - 1 + x - x² +...
Nästa term och låt oss gissa med samma mönster som förra gången genom att ta genom 6 vilket säger sig självt egentligen då när vi deriverar denna så försvinner 3 och vi erhåller delat med 2 vilket blir detsamma som för tredje termen i funktionen,
f(x)= 1 - x + (1/2)x² + (1/6)x³... och f′(x)= - 1 + x + (1/2)x²...
f´(x)= - f(x)⇔- 1 + x+ (1/2)x²...= - 1 + x - (1/2)x²- (1/6)x³...
Nej fjärde termen blir i samma princip som för andra termen och våran funktion kan nu skrivas som
f(x) = 1 - x + (1/2)x² - (1/6)x³...
Det räcker nu för att kunna finna ett mönster och veta vad det här blir för en funktion, använd att
(-1)⁰,(-1)¹,(-1)²,(-1)³,...=1,-1,1,-1,...
Okej, vad är nu detta? Jo vi kan nu skriva om våran funktion som
f(x) = (-1)⁰∗1 + (-1)¹∗x + (1/2)(-1)²∗x² + (1/6)(-1)³∗x³...
Men för att lättare kunna arbeta och se med det här problemet kan vi faktisk definiera en ny funktion som jag kallar för u(x). Vi kan skriva den som,
u(x) = - x
Låt oss nu skriva om funktionen så att f(u(x)) = f(u)
f(u) = 1 + u + (1/2)u² + (1/6)u³...
En bekant polynomfunktion eller? Det är ju exakt identiskt med förra problemet och denna visar sig då vara en exponentialfunktion. Låt oss då skriva att
f(u) = exp(u) = 1 + u + (1/2)u² + (1/6)u³+...
Den funktion vi sökte är då
f(x) = exp(-x)
Då kan vi pröva denna i differentialekvationen,
f´(x) = - exp(-x) = - f(x)
Den här är korrekt och den allmänna lösningen kan nu enkelt skrivas som
f(x) = Aexp(-x)
Nästa problem kommer att vara den allmänna linjär homogena differential ekvation av ordningen 1. Det kommer jag att göra på lektion 1 del 3.
En kommentar för lektion 1 del 1
Jag gjorde för ett special fall, naturligtvis är den allmänna lösningen
f(x) = Aexp(x)
till differential ekvationen,
f´(x) = f(x)
Men jag räknande då med att A = 1. Vi kunde lika gärna ha konstruerat med en konstant för varje term som då kan kallas för A, men ändå kan det vara mer pedagiskt att visa utan konstanten A. För allmänna fallet skulle det ha blivit med polynomet,
f(x)=A+Ax+(A/2)x²+(A/6)x³+(A/(24))x⁴+...=A(1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+(1/(24))x⁴...)
Och derivatan
f′(x)=A+Ax+(A/2)x²+(A/6)x³+...=A(1+x+(1/2)x²+(1/6)x³...)
Men för nästa problem kommer jag nog att inte heller ta med koefficienten eftersom denna blir enbart ett störande moment.
f(x) = Aexp(x)
till differential ekvationen,
f´(x) = f(x)
Men jag räknande då med att A = 1. Vi kunde lika gärna ha konstruerat med en konstant för varje term som då kan kallas för A, men ändå kan det vara mer pedagiskt att visa utan konstanten A. För allmänna fallet skulle det ha blivit med polynomet,
f(x)=A+Ax+(A/2)x²+(A/6)x³+(A/(24))x⁴+...=A(1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+(1/(24))x⁴...)
Och derivatan
f′(x)=A+Ax+(A/2)x²+(A/6)x³+...=A(1+x+(1/2)x²+(1/6)x³...)
Men för nästa problem kommer jag nog att inte heller ta med koefficienten eftersom denna blir enbart ett störande moment.
Lektion 1, del 1 om linjära homogena ekvationer
Linjära homogena differential ekvationer (del 1)
Varje lektion kommer att vara en hel del att gå igenom så dessa kommer att bli olika delar. Okej, en allmän linjär homogen differentialekvation kan skrivas som
fⁿ(x)+a(n-1)fⁿ⁻¹(x)+...+a(1)f′(x)+a(0)f(x)=0
Nästa lektion kommer att handla om dylik ekvation fast högerledet kan skrivas som en ny funktion vilket vi kommer att kalla för g. Hur som helst så kallas alla a för koefficienter och är faktum konstanter eftersom dessa inte är beroende av någon variabel x och där f är en funktion beroende av x. Så med andra ord är a(n - 1),..., a(1), a(0) koefficienterna. Den första termen är derivatan av ordningen n av funktionen f. Vi kommer nu att försöka finna lösningen för det här systemet och det gör vi med några exempel och därmed försöka resonera oss fram om lösningen på ett förhoppningsvis ett förståeligt sätt.
Låt oss betrakta differential ekvationen med koefficienten a = - 1.
f′(x)-f(x)=0⇔f′(x)=f(x)
Koefficienten för den här är a(0) = - 1 och den är av första ordningen. Den här talar om för att derivatan faktisk är detsamma som funktionen. Vad är det för en funktion som har den egenskapen?
Låt oss försöka skapa ett polynom och ett polynom uttrycks som,
∑a(n)xⁿ=a(0)+a(1)x+a(2)x²+...
(Jag hade egentligen velat ha en annan bokstav än n i vänsterledet men det verkar som om det enbart fungerar för just n). Så ser ett polynom ut, men låt oss jobba med varje term och därefter kunna finna koefficienterna. Med börjar på ett gissningsstadie för varje term, låt oss skriva
g⁰(x)=1 (där nollan enbart noterar ett index, vilket även ska jämföras med första termen i polynomet)
Vad är derivatan av denna? Jo naturligvis noll det vill säga
g⁰´(x)=0
Nästa steg är,
g¹(x)=x
Derivatan av denna blir
g¹´(x)=1
Nu kan vi bilda en funktion och en derivata på följande sätt
f(x) = 1 + x och f´(x) = 1 då koefficienterna även är a(0) = 1 och a(1) = 1
Som man kan se är derivatan den första termen av funktionen vilket är bra för oss då vi vill att derivatan ska vara detsamma som funktionen, men vi måste vidare utveckla denna eftersom det inte finns något x i dess derivatan. Det innebär att vi måste jobba med nästa term som är en kvadratisk term och låt oss skriva,
g²(x)=x²
Derivatan av denna blir,
g²´(x)=2x
Derivatan blir inte detsamma som x vilket vi vill ha så vi måste göra oss av med tvåan vilket innebär att koefficienten blir,
a(2)=1/2
Låt oss skriva våran nya funktion och derivatan som,
f(x)=1+x+(1/2)x² och f′(x)=1+x
Okej, mönstret eller våran konstruktion kommer att hålla på i all oändlighet då det finns ingen övre gräns av antalet termer, men vi ska försöka en summationsformel och därefter ska vi se om vad det här är för en funktion. Vi kommer att fortsätta i två termer till eftersom det kommer att vara avgörande för att kunna skriva en summationsformel utav det hela.
Nästa funktion och dess derivata kommer att bli,
g³(x)=x³ och g^3′(x)=3x² (här kan man se att även här fungerar det inte som det ska!)
Vi vill istället att derivatan ska bli
g^3′(x)=(1/2)x²
Det vill säga att koefficienten måste vara,
a(3) = 6 och funktionen därefter blir
g³(x)=(1/6)x³
Nu har våran konstruktion blivit,
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³
Nästa funktion och dess derivata kan vi skriva som,
g^4(x)=x⁴
g^4′(x)=4x³
Då ska fyran bort här och vi kan finna att koefficienten bör vara a(4) = 24. Nu kan man enkelt finna ett mönster
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+(1/(24))x⁴+...=1+x+(1/(2∗1))x²+(1/(3∗2∗1))x³+(1/(4∗3∗2∗1))x⁴+...
Det vill säga att man kan formulera den med hjälp av permutation. En permutation är,
n! = n(n - 1)(n - 2)*...*2*1 och 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2*1, 3! = 3*2*1 och så vidare.
Vi kan alltså skriva våran funktion med hjälp av summationen
f(x)=∑(1/(n!))xⁿ
n är ett oändligt tal och inte begränsad, bara då kan derivatan och funktionen bli samma. Hur som helst är denna bekant? Jo det har är ju definitionen av exponentialfunktionen. Funktionen blir slutligen
f(x)=exp(x)
Och en som har studerat lite derivator vet ju att derivatan av en exponentialfunktion är detsamma som funktionen.
Nästa del kommer jag att ta upp några ytterligare enkla differential ekvationer för att jobba på liknande sett, för att just visa om att det inte handlar om rena gissningar. Del 2 kommer jag att jobba med just differential ekvationen
f′(x)=-f(x)
IN ENGLISH
The linear homogen differential equation (part 1)
Every lectures will be many things to do so I will do this in parts. Alright, one general linear homogen differential equation can be write like
fⁿ(x)+a(n-1)fⁿ⁻¹(x)+...+a(1)f′(x)+a(0)f(x)=0
The next lectures will deal with inhomogen differential quation which means that we have a function g(x) instead of zero on the right hand side. However, all of the a is called coefficients and is in facts constants because this is not depend on the variable x and there f is a function which depend on the variable x. With other word coefficients is a(n - 1),...,a(1),a(0). The first term is the derivate of order n. We want try to find the solution of this system and I hope that the reasons will be comprehensible.
Let us begin with the differential equation with the coefficients a = - 1.
f′(x)-f(x)=0⇔f′(x)=f(x)
The coefficient for this case is a(0) = - 1 and the this one is of the first order. This differential equations show that the derivate is in fact the same as the function. What function behaviour like this? Let us try to create a polynom for this one and the polynom is expressed like
∑a(n)xⁿ=a(0)+a(1)x+a(2)x²+...
(I really wanted to use some other letter n in the left hand side but it seamed to works only for n). This is a polynom, but let us work with every term and thereafter try to find the coefficients. To begin with let us write
g⁰(x)=1
(there the zero only means the index, which even can be compared to the first term in the polynom)
What is the derivate of this? Of course
g⁰´(x)=0
The next step is
g¹(x)=x
The derivate of this one will be
g¹´(x)=1
Now we can create a function and the derivate on the following
f(x) = 1 + x and f´(x) = 1 when the coefficients is a(0) = 1 and a(1) = 1
Which you can see, the derivate is the first term of the function which is good for us when we want that the derivate will be the same as the function, but we must go on with this one because there don´t exist any x in the derivate. That means we want to work with the next term which is a quadratic term and let us write,
g²(x)=x²
The derivate of this one will be
g²´(x)=2x
The derivate is not the same as x which we want to have and we will try to get rid of the 2 which means that the coefficient must be
a(2)=1/2
Let us write our new function and the derivate like,
f(x)=1+x+(1/2)x² och f′(x)=1+x
Alrigt the structure or our construction will be keep do in forever and there don´t exist one over limit about how many terms there are, but we want to find out a summation formula and thereafter try to find out what the kind of function it is. We want to deal with two terms more, because one maybe want to see if there exist a structure to create a formula of the terms.
The next function and it´s derivate will be
g³(x)=x³ och g^3′(x)=3x² (This isn´t work good enought!)
Instead the derivate will be
g^3′(x)=(1/2)x²
This means that the coefficient will be,
a(3) = 6 and the function thereafter will be
g³(x)=(1/6)x³
Our construction is then,
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³
The next function and it´s derivate can be written like
g^4(x)=x⁴
g^4′(x)=4x³
The four should diseaper and we can find out that the coefficient will be a(4) = 24. Now we can find out the structure to be
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+(1/(24))x⁴+...=1+x+(1/(2∗1))x²+(1/(3∗2∗1))x³+(1/(4∗3∗2∗1))x⁴+...
That means we can formulate with help of permutations. A permutation is,
n! = n(n - 1)(n - 2)*...*2*1 och 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2*1, 3! = 3*2*1 och så vidare.
We can thereafter write our function with help of the sumation formula
f(x)=∑(1/(n!))xⁿ
There n is a infinity number and not limit, only the the derivate and the function can be the same. However is the known? Well it is and this is the exponentialfunctions definition. The function can be write like
f(x) = exp(x)
And one which have do some studies about derivate knew that a derivate of a exponentialfunction is the same as the function.
The next part I want to deal with some more simple differential equation to work likewise, to show that it isn´t only about guessing. The part 2 I want to deal with the differential equation
f ′(x)=-f(x)
Varje lektion kommer att vara en hel del att gå igenom så dessa kommer att bli olika delar. Okej, en allmän linjär homogen differentialekvation kan skrivas som
fⁿ(x)+a(n-1)fⁿ⁻¹(x)+...+a(1)f′(x)+a(0)f(x)=0
Nästa lektion kommer att handla om dylik ekvation fast högerledet kan skrivas som en ny funktion vilket vi kommer att kalla för g. Hur som helst så kallas alla a för koefficienter och är faktum konstanter eftersom dessa inte är beroende av någon variabel x och där f är en funktion beroende av x. Så med andra ord är a(n - 1),..., a(1), a(0) koefficienterna. Den första termen är derivatan av ordningen n av funktionen f. Vi kommer nu att försöka finna lösningen för det här systemet och det gör vi med några exempel och därmed försöka resonera oss fram om lösningen på ett förhoppningsvis ett förståeligt sätt.
Låt oss betrakta differential ekvationen med koefficienten a = - 1.
f′(x)-f(x)=0⇔f′(x)=f(x)
Koefficienten för den här är a(0) = - 1 och den är av första ordningen. Den här talar om för att derivatan faktisk är detsamma som funktionen. Vad är det för en funktion som har den egenskapen?
Låt oss försöka skapa ett polynom och ett polynom uttrycks som,
∑a(n)xⁿ=a(0)+a(1)x+a(2)x²+...
(Jag hade egentligen velat ha en annan bokstav än n i vänsterledet men det verkar som om det enbart fungerar för just n). Så ser ett polynom ut, men låt oss jobba med varje term och därefter kunna finna koefficienterna. Med börjar på ett gissningsstadie för varje term, låt oss skriva
g⁰(x)=1 (där nollan enbart noterar ett index, vilket även ska jämföras med första termen i polynomet)
Vad är derivatan av denna? Jo naturligvis noll det vill säga
g⁰´(x)=0
Nästa steg är,
g¹(x)=x
Derivatan av denna blir
g¹´(x)=1
Nu kan vi bilda en funktion och en derivata på följande sätt
f(x) = 1 + x och f´(x) = 1 då koefficienterna även är a(0) = 1 och a(1) = 1
Som man kan se är derivatan den första termen av funktionen vilket är bra för oss då vi vill att derivatan ska vara detsamma som funktionen, men vi måste vidare utveckla denna eftersom det inte finns något x i dess derivatan. Det innebär att vi måste jobba med nästa term som är en kvadratisk term och låt oss skriva,
g²(x)=x²
Derivatan av denna blir,
g²´(x)=2x
Derivatan blir inte detsamma som x vilket vi vill ha så vi måste göra oss av med tvåan vilket innebär att koefficienten blir,
a(2)=1/2
Låt oss skriva våran nya funktion och derivatan som,
f(x)=1+x+(1/2)x² och f′(x)=1+x
Okej, mönstret eller våran konstruktion kommer att hålla på i all oändlighet då det finns ingen övre gräns av antalet termer, men vi ska försöka en summationsformel och därefter ska vi se om vad det här är för en funktion. Vi kommer att fortsätta i två termer till eftersom det kommer att vara avgörande för att kunna skriva en summationsformel utav det hela.
Nästa funktion och dess derivata kommer att bli,
g³(x)=x³ och g^3′(x)=3x² (här kan man se att även här fungerar det inte som det ska!)
Vi vill istället att derivatan ska bli
g^3′(x)=(1/2)x²
Det vill säga att koefficienten måste vara,
a(3) = 6 och funktionen därefter blir
g³(x)=(1/6)x³
Nu har våran konstruktion blivit,
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³
Nästa funktion och dess derivata kan vi skriva som,
g^4(x)=x⁴
g^4′(x)=4x³
Då ska fyran bort här och vi kan finna att koefficienten bör vara a(4) = 24. Nu kan man enkelt finna ett mönster
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+(1/(24))x⁴+...=1+x+(1/(2∗1))x²+(1/(3∗2∗1))x³+(1/(4∗3∗2∗1))x⁴+...
Det vill säga att man kan formulera den med hjälp av permutation. En permutation är,
n! = n(n - 1)(n - 2)*...*2*1 och 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2*1, 3! = 3*2*1 och så vidare.
Vi kan alltså skriva våran funktion med hjälp av summationen
f(x)=∑(1/(n!))xⁿ
n är ett oändligt tal och inte begränsad, bara då kan derivatan och funktionen bli samma. Hur som helst är denna bekant? Jo det har är ju definitionen av exponentialfunktionen. Funktionen blir slutligen
f(x)=exp(x)
Och en som har studerat lite derivator vet ju att derivatan av en exponentialfunktion är detsamma som funktionen.
Nästa del kommer jag att ta upp några ytterligare enkla differential ekvationer för att jobba på liknande sett, för att just visa om att det inte handlar om rena gissningar. Del 2 kommer jag att jobba med just differential ekvationen
f′(x)=-f(x)
IN ENGLISH
The linear homogen differential equation (part 1)
Every lectures will be many things to do so I will do this in parts. Alright, one general linear homogen differential equation can be write like
fⁿ(x)+a(n-1)fⁿ⁻¹(x)+...+a(1)f′(x)+a(0)f(x)=0
The next lectures will deal with inhomogen differential quation which means that we have a function g(x) instead of zero on the right hand side. However, all of the a is called coefficients and is in facts constants because this is not depend on the variable x and there f is a function which depend on the variable x. With other word coefficients is a(n - 1),...,a(1),a(0). The first term is the derivate of order n. We want try to find the solution of this system and I hope that the reasons will be comprehensible.
Let us begin with the differential equation with the coefficients a = - 1.
f′(x)-f(x)=0⇔f′(x)=f(x)
The coefficient for this case is a(0) = - 1 and the this one is of the first order. This differential equations show that the derivate is in fact the same as the function. What function behaviour like this? Let us try to create a polynom for this one and the polynom is expressed like
∑a(n)xⁿ=a(0)+a(1)x+a(2)x²+...
(I really wanted to use some other letter n in the left hand side but it seamed to works only for n). This is a polynom, but let us work with every term and thereafter try to find the coefficients. To begin with let us write
g⁰(x)=1
(there the zero only means the index, which even can be compared to the first term in the polynom)
What is the derivate of this? Of course
g⁰´(x)=0
The next step is
g¹(x)=x
The derivate of this one will be
g¹´(x)=1
Now we can create a function and the derivate on the following
f(x) = 1 + x and f´(x) = 1 when the coefficients is a(0) = 1 and a(1) = 1
Which you can see, the derivate is the first term of the function which is good for us when we want that the derivate will be the same as the function, but we must go on with this one because there don´t exist any x in the derivate. That means we want to work with the next term which is a quadratic term and let us write,
g²(x)=x²
The derivate of this one will be
g²´(x)=2x
The derivate is not the same as x which we want to have and we will try to get rid of the 2 which means that the coefficient must be
a(2)=1/2
Let us write our new function and the derivate like,
f(x)=1+x+(1/2)x² och f′(x)=1+x
Alrigt the structure or our construction will be keep do in forever and there don´t exist one over limit about how many terms there are, but we want to find out a summation formula and thereafter try to find out what the kind of function it is. We want to deal with two terms more, because one maybe want to see if there exist a structure to create a formula of the terms.
The next function and it´s derivate will be
g³(x)=x³ och g^3′(x)=3x² (This isn´t work good enought!)
Instead the derivate will be
g^3′(x)=(1/2)x²
This means that the coefficient will be,
a(3) = 6 and the function thereafter will be
g³(x)=(1/6)x³
Our construction is then,
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³
The next function and it´s derivate can be written like
g^4(x)=x⁴
g^4′(x)=4x³
The four should diseaper and we can find out that the coefficient will be a(4) = 24. Now we can find out the structure to be
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+(1/(24))x⁴+...=1+x+(1/(2∗1))x²+(1/(3∗2∗1))x³+(1/(4∗3∗2∗1))x⁴+...
That means we can formulate with help of permutations. A permutation is,
n! = n(n - 1)(n - 2)*...*2*1 och 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2*1, 3! = 3*2*1 och så vidare.
We can thereafter write our function with help of the sumation formula
f(x)=∑(1/(n!))xⁿ
There n is a infinity number and not limit, only the the derivate and the function can be the same. However is the known? Well it is and this is the exponentialfunctions definition. The function can be write like
f(x) = exp(x)
And one which have do some studies about derivate knew that a derivate of a exponentialfunction is the same as the function.
The next part I want to deal with some more simple differential equation to work likewise, to show that it isn´t only about guessing. The part 2 I want to deal with the differential equation
f ′(x)=-f(x)
Lektion 0: Differentialekvationer
Jag känner mig för att räkna några enkla differential ekvationer och dra igång en kurs då flera inlägg kommer att handla om just differentialekvationerna. Jag tänkte här dela med mig om hur man kan räkna ut olika differentialekvationer med anpasslig metod (det går förstås att använda flera olika metoder för att lösa samma differentialekvation). Därefter är det tänkt att se över om vad man kan använda differentialekvationer till för att lösa verkliga problem.
För den här kursen kommer jag att gå igenom någonting som kallas för ordinära differentialekvationer vilket i själva verket innebär funktioner med en variabel och nästa differential ekvation kurs blir partiella differential ekvationer, men jag vet inte om jag kommer att ta någonting annat mellan kurserna?
Vad är differential ekvationer för någonting? Låt oss illustrera med några exempel över vanliga ekvationer och differential ekvationer
Ekvationer
x+3=1
4z+3=-z
Och differential ekvationer
((df(z))/(dz))+3f(z)=0
((dg(x))/(dx))-2g(x)=1
Okej vi kan se att den andra handlar om att finna en funktion medan ekvationerna ovanför går ut på att finna tal. Man kan utveckla vidare och även lösa någonting som kallas för integral ekvationer vilket även går ut på att finna en funktion. Det här inlägget är enbart tänkt som en kort introduktion till en grupp av föreläsningar och lektioner om hur man kan använda olika metoder för att lösa differential ekvationer. Hur som helst jag tänker i framtiden istället skriva som i vänsterledet med prim och biss (två stycken "pinnar" ovanför funktionen) och så vidare
f′(z)=((df(z))/(dz))
Nästa lektion ska vi lära oss om hur man löser dem och här tänkte jag bara att ange lösningarna och ni kan själva avgöra om man har rätt eller inte genom att sätta in lösningen i ekvationerna och differentialekvationerna för att se om vänsterledet och högerledet är lika.
De två första bör bli x = -2 och z = - 3/5, lösningarna till diffarna (differentialekvationerna) kommer att bli
f(z)=Aexp(-3z)
g(x)=Bexp(2x)-(1/2)
Ja det var en kort intro, nästa gång blir det om hur man faktiskt räknar. Alla intresserade kan ju ta del av kunskaperna. Den här kursen skulle man kunna säga ligga mellan gymnasienivå och universitet och fokuserar mer på hur man lär använda sig av verktygen till olika problem.
Lektion 1: Linjära homogena differential ekvationer, första och högre ordningar
Lektion 2: Linjära inhomogena differential ekvationer, första och högre ordningar
Lektion 3: Separationsmetoden (första ordningen)
Lektion 4: Första ordningens linjära differential ekvationsmetod
Lektion 5: Exakta ekvationsmetoden (första ordningen)
Lektion 6: Integrerande faktorn (första ordningen)
Därefter kommer vi att köra mer i andra ordnings differential ekvationer.
Hur kan kaströrelseekvationerna skrivas som differentialekvationer? Det kommer vi att så småningom att ta en titt på i den här kursen.
IN ENGLISH:
I felt that I want to calculate some simple differential equation and to begin one course on this blog which want to deal with the differential equations. I want to share of my knowledje about how to find the solutions to differential equation with different methods (of course for some differential equation you can choice the method). Thereafter I will show how to use some differential equation to solve real problems in physics for example.
For this course I want to get throught to something called ordinary differential equations which means that you only want to deal with one variable and the next course I maybe want to deal with partial differential equations which means more than one variable, but maybe I want to do something else between the courses?
However what is a differential equation? Let us illustrate with some examples over some usual equations and differential equations.
The equations
x + 3 = 1
4z + 3 = -z
and the differential equations
((df(z))/(dz)) + 3f(z) = 0
((dg(x))/(dx)) - 2g(x) = 1
Alright we can find out that the second type called differential equation is about to find the function and the equation is to find the number. You can also find the functions through something called the integral quations. This contribution is only thought to be some introduction to a group of lectures about how to use the methods to solve the differential equations. However in the future instead I want to write the prim and biss (which means two pins above the function) which means for example that
f´(z) = df(z)/dz
The next lecture we want to learn about how to solve them, and from this introduction I want to only give the answers to respective equations and differential equations. You can control this for yourselves thought to substitute in the solutions and see if left hand side and right hand side is the same.
The two first equation have the solutions x = - 2 and z = - 3/5, and the solutions to the differential equations will be
f(z)=Aexp(-3z)
g(x)=Bexp(2x)-(1/2)
Yes, this was a short introduction, and the next time will be how to calculate. All of the interest can use this. This course should be on the simple level from the University perspective and more to focus on how to use this to solve some different problem.
Lecture 1: Linear homogen differential equation, first and higher order
Lecture 2: Linear inhomogen differential equation, first and higher order.
Lecture 3: The method of seperation (the first order)
Lecture 4: First order linear differential equation method
Lecture 5: The method of exact differentialeqaution (first order)
Lecture 6: The integrating factor (first order)
Thereafter we want to deal with more methods about how to solve the second order differential equations.
För den här kursen kommer jag att gå igenom någonting som kallas för ordinära differentialekvationer vilket i själva verket innebär funktioner med en variabel och nästa differential ekvation kurs blir partiella differential ekvationer, men jag vet inte om jag kommer att ta någonting annat mellan kurserna?
Vad är differential ekvationer för någonting? Låt oss illustrera med några exempel över vanliga ekvationer och differential ekvationer
Ekvationer
x+3=1
4z+3=-z
Och differential ekvationer
((df(z))/(dz))+3f(z)=0
((dg(x))/(dx))-2g(x)=1
Okej vi kan se att den andra handlar om att finna en funktion medan ekvationerna ovanför går ut på att finna tal. Man kan utveckla vidare och även lösa någonting som kallas för integral ekvationer vilket även går ut på att finna en funktion. Det här inlägget är enbart tänkt som en kort introduktion till en grupp av föreläsningar och lektioner om hur man kan använda olika metoder för att lösa differential ekvationer. Hur som helst jag tänker i framtiden istället skriva som i vänsterledet med prim och biss (två stycken "pinnar" ovanför funktionen) och så vidare
f′(z)=((df(z))/(dz))
Nästa lektion ska vi lära oss om hur man löser dem och här tänkte jag bara att ange lösningarna och ni kan själva avgöra om man har rätt eller inte genom att sätta in lösningen i ekvationerna och differentialekvationerna för att se om vänsterledet och högerledet är lika.
De två första bör bli x = -2 och z = - 3/5, lösningarna till diffarna (differentialekvationerna) kommer att bli
f(z)=Aexp(-3z)
g(x)=Bexp(2x)-(1/2)
Ja det var en kort intro, nästa gång blir det om hur man faktiskt räknar. Alla intresserade kan ju ta del av kunskaperna. Den här kursen skulle man kunna säga ligga mellan gymnasienivå och universitet och fokuserar mer på hur man lär använda sig av verktygen till olika problem.
Lektion 1: Linjära homogena differential ekvationer, första och högre ordningar
Lektion 2: Linjära inhomogena differential ekvationer, första och högre ordningar
Lektion 3: Separationsmetoden (första ordningen)
Lektion 4: Första ordningens linjära differential ekvationsmetod
Lektion 5: Exakta ekvationsmetoden (första ordningen)
Lektion 6: Integrerande faktorn (första ordningen)
Därefter kommer vi att köra mer i andra ordnings differential ekvationer.
Hur kan kaströrelseekvationerna skrivas som differentialekvationer? Det kommer vi att så småningom att ta en titt på i den här kursen.
IN ENGLISH:
I felt that I want to calculate some simple differential equation and to begin one course on this blog which want to deal with the differential equations. I want to share of my knowledje about how to find the solutions to differential equation with different methods (of course for some differential equation you can choice the method). Thereafter I will show how to use some differential equation to solve real problems in physics for example.
For this course I want to get throught to something called ordinary differential equations which means that you only want to deal with one variable and the next course I maybe want to deal with partial differential equations which means more than one variable, but maybe I want to do something else between the courses?
However what is a differential equation? Let us illustrate with some examples over some usual equations and differential equations.
The equations
x + 3 = 1
4z + 3 = -z
and the differential equations
((df(z))/(dz)) + 3f(z) = 0
((dg(x))/(dx)) - 2g(x) = 1
Alright we can find out that the second type called differential equation is about to find the function and the equation is to find the number. You can also find the functions through something called the integral quations. This contribution is only thought to be some introduction to a group of lectures about how to use the methods to solve the differential equations. However in the future instead I want to write the prim and biss (which means two pins above the function) which means for example that
f´(z) = df(z)/dz
The next lecture we want to learn about how to solve them, and from this introduction I want to only give the answers to respective equations and differential equations. You can control this for yourselves thought to substitute in the solutions and see if left hand side and right hand side is the same.
The two first equation have the solutions x = - 2 and z = - 3/5, and the solutions to the differential equations will be
f(z)=Aexp(-3z)
g(x)=Bexp(2x)-(1/2)
Yes, this was a short introduction, and the next time will be how to calculate. All of the interest can use this. This course should be on the simple level from the University perspective and more to focus on how to use this to solve some different problem.
Lecture 1: Linear homogen differential equation, first and higher order
Lecture 2: Linear inhomogen differential equation, first and higher order.
Lecture 3: The method of seperation (the first order)
Lecture 4: First order linear differential equation method
Lecture 5: The method of exact differentialeqaution (first order)
Lecture 6: The integrating factor (first order)
Thereafter we want to deal with more methods about how to solve the second order differential equations.
Prenumerera på:
Kommentarer (Atom)