Lektion 1, del 7 linjära homogena differential ekvationer av ordningen 2

Här tar vi upp några exempel,

Exempel 1:

Lös differential ekvationen

a) y´´(x) - 4y(x) = 0

b) y´´(x) + 4y(x) = 0

c) Finn de speciella lösningarna för ovanstående differentialekvationerna med villkoren y(0) = 1 och y´(0) = 0

Lösning 1a:

y´´(x) - 4y(x) = 0

Använd den specifika lösningen y(x) = exp(rx)

((d²)/(dx²))exp(rx) - 4exp(rx) = 0 ⇔ r² - 4 = 0

r² = 4 ⇒ r = ±2

Lösningen till differential ekvationen är

y(x) = Aexp(2x) + Bexp(-2x)

Lösning 1b:

y´´(x) + 4y(x) = 0

((d²)/(dx²))exp(rx) + 4exp(rx) = 0 ⇔ r² + 4 = 0

r² = - 4 ⇒ r = ±2i

y(x) = Aexp(2ix) + Bexp(-2ix) = Ccos(x) + Dsin(x)

Lösning 1c:

Med lösningen ifrån a)

y(x) = Aexp(2x) + Bexp(-2x)

y(0) = A + B = 1 (1)
y´(0) = 2A - 2B = 0 (2)

Från (2) ger att A = B

Substituera in i (1)

A + B = A + A = 2A = 1 ⇔ A = 1/2 och att B = 1/2

Den speciella lösningen blir

y(x) = (1/2)*(exp(2x) + Bexp(-2))

Med lösningen ifrån b)

y(x) = Ccos(x) + Dsin(x)

y(0) = C = 1
y´(0) = - Csin(0) + Dcos(0) = 0

Ger att C = 1 och D = 0

Den speciella lösningen blir därmed

y(x) = Ccos(x)

Exempel 2:

Lös differential ekvationerna

a) y´´(x) + 2y´(x) = 0

b) y´´(x) + 2y´(x) - 3y(x) = 0

Lösning 2a:

y´´(x) + 2y´(x) = 0

Använd den speciella lösningen

y(x) = exp(rx)
y´(x) = rexp(rx)
y´´(x) = r²exp(rx)

 r²exp(rx) + 2rexp(rx) = 0 ⇔  r(r + 2) = 0

r = 0 och r = - 2

Lösningen till differential ekvationen är

y(x) = A + Bexp(-2x)

Lösning 2b:

y´´(x) + 2y´(x) - 3y(x) = 0

Använd den speciella lösningen

y(x) = exp(rx)
y´(x) = rexp(rx)
y´´(x) = r²exp(rx)

r²exp(rx) + 2rexp(rx) - 3exp(rx) = 0

⇔ r² + 2r - 3 = 0

⇒ r = - 1 ± √(1+3) = - 1 ± 2

r = 1 och r = - 3

Lösningen till differential ekvationen är

y(x) = Aexp(x) + Bexp(-3x)

Nästa del kan vi ge oss på tredje ordningen och högre, några enkla exempel.