Lektion 1, del 5, linjära homogena differential ekvationer, eulers formel och komplexa tal

Komplexa talet:

Okej, då bör vi lära oss lite verktyg för att kunna hantera andra ordningens linjära homogena differential ekvationer. Det blir lite som repetition. Då kan vi fråga oss om vad

√(-1) = ?

Den här som man vet har ingen lösning i form av reella tal utan vi måste definiera ett nytt tal som kallas för ett imaginärt tal som beskrivs oftast med ett "i" (ibland j).

√(-1) = i

Det här är alltså definitionen för ett imaginärt tal. Med vad är då ett komplex tal, oftast skrivs ett komplex tal som

z = x + iy

Där x och y är reella tal.

Härledning av Eulers formel:

   Låt oss undersöka exponentialfunktionen med det komplexa talet z.

exp(z) = exp(x + iy) = exp(x)exp(iy)

Låt oss först med hjälp av polynom visa att detta stämmer.

exp(x+iy) = 1 + (x+iy) + (1/2)(x+iy)² + (1/6)(x+iy)³ +...

= 1 + x + iy + (1/2)x² + ixy + (1/2)(iy)² + (1/6)x³ + (1/2)x²(iy) + (1/2)x(iy)² + (1/6)(iy)³ +...

= (1 + x + (1/2)x² + (1/6)x³ +...)∗1 + (1 + x + (1/2)x² +...)∗iy + (1 + x +...)∗(1/2)(iy)² + (1 +...)∗(1/6)(iy)³ +...

= (1 + x + (1/2)x² + (1/6)x³ +...)∗(1 + iy + (1/2)(iy)² + (1/6)(iy)³ +...) = exp(x)exp(iy)

Nu kan vi bearbeta med exp(iy) för att se om man kan skriva om denna på något sett? Låt oss åter igen polynomisera denna,

exp(iy) = 1 + (iy) + (1/(2!))(iy)² + (1/(3!))(iy)³ + (1/(4!))(iy)⁴+ (1/(5!))(iy)⁵ + (1/(6!))(iy)⁶ +...

= 1 + (iy) - (1/(2!))y² - (1/(3!))iy³ + (1/(4!))y⁴+(1/(5!))iy⁵ - (1/(6!))y⁶ +...

= (1 - (1/(2!))y² + (1/(4!))y⁴- (1/(6!))y⁶ +...) + i(y - (1/(3!))y³ + (1/(5!))y⁵ +...)

Vi kan nu använda oss av funktionerna

cos(y) = 1 - (1/(2!))y² + (1/(4!))y⁴- (1/(6!))y⁶ +... och

sin(y) = y - (1/(3!))y³ + (1/(5!))y⁵ +...

Då kan vi skriva

exp(iy) = cos(y) + isin(y)

Det här är faktiskt Eulers formel vilket är väldigt användbar, i många och många sammanhang. Används väldigt ofta även inom fysikvärlden. Den exponentiella funktionen med det komplexa talet z kan nu skrivas

exp(z) = exp(x)exp(iy) = exp(x)*( cos(y) + isin(y))

Nu kan vi känna oss redo att lösa linjära homogena differential ekvationer av ordningen 2.