Lektion 1, del 3, allmän linjär homogen differential ekvation av ordningen 1

Nu blir det del 3 då vi ska finna lösningen för differential ekvationen

f´(x) + af(x) = 0
f´(x) = - af(x)

Nu kommer jag inte att gå in lika detaljerat eftersom alla trix vi använder här är detsamma som för lektion del 1 och del 2.

f´(x) = - af(x)

f(x) = 1+... och f´(x) = 0+...

f(x) = 1 + x +... och f´(x) = 1 +...

f´(x) = - af(x) ⇔ 1 +...= - a - ax+... nej

--> f(x) = 1 - ax + ... och f´(x) = - a +...

f´(x) = - af(x) ⇔ - a +... = - a + ax+...

f(x) = 1 - ax + (1/2)a²x² +... och f′(x) = - a + a²x +...

f´(x) = - af(x) ⇔ - a + a²x +... = - a + a²x - (1/2)a³x² +...

f(x) = 1 - ax + (1/2)a²x² - (1/6)a³x³ +... och f´(x) = - a + a²x - (1/2)a²x² +...

f´(x) = - af(x) ⇔ f´(x) = - a + a²x - (1/2)a²x² +... = - a + a²x - (1/2)a³x² + (1/6)a⁴x³+...

Okej, då kan vi redan nu se mönstret av den här funktionen,

f(x) = 1 - ax + (1/2)a²x² - (1/6)a³x³ +...

= (1/(0!))(-ax)⁰ + (1/(1!))(-ax)¹ + (1/(2!))(-ax)² + (1/(3!))(-ax)³ + ... = exp(-ax)

Okej den allmänna lösningen för den linjär homogena differentialekvationen

f´(x) + af(x) = 0

kan nu skrivas som

f(x) = Aexp(-ax)

Vi kan nu enkelt få ut våra tidigare fall och den första lektion 1 del 1 genom att sätta a = - 1 så att

f(x) = Aexp(x)

och ifrån lektion 1, del 2 genom att sätta a = 1

f(x) = Aexp(-x)

Eftersom den här allmänna lösningen gäller för alla av den här typen av differential ekvation så kan man nu formulera sig en formel, låt oss nu skriva att,

f(x) = Aexp(rx)

Där nu r är okänd, men formeln ovanför fungerar eftersom den satisfierar den allmänna lösningen. Okej låt oss nu substituera in denna formel i differential ekvationen

f´(x) + af(x) = Arexp(rx) + aAexp(rx) = 0 ⇔ r + a = 0 ⇔ r = - a

Den här formeln är någonting som man redan på gymnasienivån lär sig och det är nog den första typen av differentialekvationer som tas upp i en grundkurs av differentialekvationer. Hädanefter kommer vi att använda oss av den här formeln för att lösa några differentialekvationer som kommer att bli i nästa del 4 av lektionen. Vi kan även säga att det finns otroligt mycket enklare sätt att få fram samma formel, men genom en annan metod som kallas för den separabla metoden vilket vi senare kommer att visa.