Lektion 1, del 4 några exempel av linjära homogena differential ekvationer

Okej då kan vi ta upp några exempel och visa hur man mer praktiskt och enkelt kan lösa differential ekvationer av ordningen 1. Vi kommer också att gå igenom om hur man hanterar villkor.

Exempel 1:

a ) Lös den linjära homogena differential ekvationen

y´(x) - 2y(x) = 0

b) Lös den linjära homogena differential ekvationen

y´(x) + 5y(x) = 0

Lösning 1a:

Då kan vi använda oss av formeln ifrån lektion 1, del 3 som är

y(x) = Aexp(rx)

Substituera in den i differentialekvationen

(d/dx)(Aexp(rx) - 2Aexp(rx) = 0

Arexp(rx) - 2Aexp(rx) = 0

r - 2 = 0

r = 2

Den allmänna lösningen blir därmed

y(x) = Aexp(2x)

Lösning 1b:

Använd åter igen samma formel för den här differential ekvationen

(d/dx)(Aexp(rx)) + 5Aexp(rx) = 0

Arexp(rx) + 5Aexp(rx) = 0

r + 5 = 0

r = - 5

Den allmänna lösningen för differential ekvationen är därmed

y(x) = Aexp(-5x)

Genom gång av villkor:

Med hjälp av villkor kan vi ta reda på den speciella lösningen av en differential ekvation, det vill säga att ta reda på om vad A är. Låt oss nu säga att x = u och det kommer ge att y = v, där u och v är tal. Vi kan nu formulera villkoret som

y(u) = v

Den generella differentialekvationen av första ordningen var

y´(x) + ay(x) = 0

och den allmänna lösningen till denna är (se lektion 1, del 3)

y(x) = Aexp(-ax)

Nu kan vi använda oss av villkoret y(u) = v

y(u) = Aexp(-au) = v

A = vexp(au)

Därmed kan vi finna den speciella lösningen som

y(x) = vexp(au)exp(-ax) = vexp(a(u - x))

Nu kan vi göra ett exempel om detta

Exempel 2:

Lös differential ekvationen

y´(x) + 10y(x) = 0

med villkoren

a) y(0) = 1
b y(3) = -1

Lösning 2:

Den allmänna lösningen för differential ekvationen blir

(d/dx)(Aexp(rx)) + 10Aexp(rx) = 0

r + 10 = 0

r = - 10

y(x) = Aexp(-10x)

a) y(0) = 1

y(0) = A = 1

Den speciella lösningen blir

y(x) = exp(-10x)

b) y(3) = - 1

y(3) = Aexp(-30) = - 1

A = - exp(30)

Den speciella lösningen blir därefter

y(x) = - exp(10(-x + 3))

Exempel 3:

Lös differential ekvationen

y´(x) = f(u)y(x)

Med villkoret y(2) = 2

Lösning 3:

Här skulle man kunna lura sig på funktionen f vilket är beroende av variabeln u, men det är funktionen y som vi söker efter som är beroende av variabeln x. Det innebär att funktionen f kan enbart hanteras som en konstant och det inte heller den vi söker efter.
   Den allmänna lösningen blir därmed

(d/dx)(Aexp(rx)) = aAexp(rx)

Där vi även har skrivit att f(u) = a

r = a

y(x) = Aexp(ax)

Med villkoret y(2) = 2

y(2) = Aexp(2a) = 2

A = 2exp(-2a)

Den speciella lösningen kan nu skrivas som

y(x) = 2exp(a(x - 2)) = 2exp(f(u)(x - 2))

Nästa gång går vi igenom litegrann av ordningen 2. Därmed kommer flera roliga lösningar in och man kommer att utnyttja Eulers lag och använda sig av komplexa tal. Nästa del 5 kommer att vara en repetition över om vad komplexa tal är och lite tekniska hjälpmedel.