Lektion 1, del 8 linjära homogena differential ekvationer tredje ordningen

Ett exempel över en linjär homogen differential ekvation av tredje ordningen.

Exempel 1:

Finn lösningen till differential ekvationerna

a) y´´´(x) + 2y´´(x) - 3y´(x) = 0
b) y´´´(x) - 8y(x) = 0

Lösning 1a:

Använd den specifika lösningen

y(x) = exp(rx)
y´(x) = rexp(rx)
y´´(x) = r²exp(rx)
y´´´(x) = r³exp(rx)

Substituera in dem i differential ekvationen

r³exp(rx) + 2r²exp(rx) - 3rexp(rx) = 0

⇔ r(r² + 2r - 3) = 0

Vi kommer att få fram att

r = 0, r = 1 och r = - 3

Den allmänna lösningen kommer att bli

y(x) = A + Bexp(x) + Cexp(-3x)

Lösning 1b:

y´´´(x) - 8y(x) = 0

 r³exp(rx) - 8exp(rx) = 0 ⇔  r³ = 8

⇒r = 2, r = 2(cos120 + isin120) = - 1 + i√3 och r = - 1 - i√3

Lösningen till differential ekvationen kommer att bli,

y(x) = Aexp(2x) + Bexp((-1 + i√3)x) + Cexp(-(1 + i√3)x)

= Aexp(2x) + exp(-x)*(Dcos(√3x) + Esin(√3x))

IN ENGLISH:

One example over a linear homogen differential equation of third order.

Example 1:

Find the solution to the differential equation

a) y´´´(x) + 2y´´(x) - 3y´(x) = 0
b) y´´´(x) - 8y(x) = 0

Solution 1a:

Use the specific solution

y(x) = exp(rx)
y´(x) = rexp(rx)
y´´(x) = r²exp(rx)
y´´´(x) = r³exp(rx)

Substitute them in the differential equation

r³exp(rx) + 2r²exp(rx) - 3rexp(rx) = 0

⇔ r(r² + 2r - 3) = 0

Thereafter three different r is

r = 0, r = 1 och r = - 3

The general solution will be

y(x) = A + Bexp(x) + Cexp(-3x)

Solution 1b:

y´´´(x) - 8y(x) = 0

 r³exp(rx) - 8exp(rx) = 0 ⇔  r³ = 8

⇒r = 2, r = 2(cos120 + isin120) = - 1 + i√3 och r = - 1 - i√3

The solution to the differential equation will be,

y(x) = Aexp(2x) + Bexp((-1 + i√3)x) + Cexp(-(1 + i√3)x)

= Aexp(2x) + exp(-x)*(Dcos(√3x) + Esin(√3x))