Linjära homogena differential ekvationer (del 1)
Varje lektion kommer att vara en hel del att gå igenom så dessa kommer att bli olika delar. Okej, en allmän linjär homogen differentialekvation kan skrivas som
fⁿ(x)+a(n-1)fⁿ⁻¹(x)+...+a(1)f′(x)+a(0)f(x)=0
Nästa lektion kommer att handla om dylik ekvation fast högerledet kan skrivas som en ny funktion vilket vi kommer att kalla för g. Hur som helst så kallas alla a för koefficienter och är faktum konstanter eftersom dessa inte är beroende av någon variabel x och där f är en funktion beroende av x. Så med andra ord är a(n - 1),..., a(1), a(0) koefficienterna. Den första termen är derivatan av ordningen n av funktionen f. Vi kommer nu att försöka finna lösningen för det här systemet och det gör vi med några exempel och därmed försöka resonera oss fram om lösningen på ett förhoppningsvis ett förståeligt sätt.
Låt oss betrakta differential ekvationen med koefficienten a = - 1.
f′(x)-f(x)=0⇔f′(x)=f(x)
Koefficienten för den här är a(0) = - 1 och den är av första ordningen. Den här talar om för att derivatan faktisk är detsamma som funktionen. Vad är det för en funktion som har den egenskapen?
Låt oss försöka skapa ett polynom och ett polynom uttrycks som,
∑a(n)xⁿ=a(0)+a(1)x+a(2)x²+...
(Jag hade egentligen velat ha en annan bokstav än n i vänsterledet men det verkar som om det enbart fungerar för just n). Så ser ett polynom ut, men låt oss jobba med varje term och därefter kunna finna koefficienterna. Med börjar på ett gissningsstadie för varje term, låt oss skriva
g⁰(x)=1 (där nollan enbart noterar ett index, vilket även ska jämföras med första termen i polynomet)
Vad är derivatan av denna? Jo naturligvis noll det vill säga
g⁰´(x)=0
Nästa steg är,
g¹(x)=x
Derivatan av denna blir
g¹´(x)=1
Nu kan vi bilda en funktion och en derivata på följande sätt
f(x) = 1 + x och f´(x) = 1 då koefficienterna även är a(0) = 1 och a(1) = 1
Som man kan se är derivatan den första termen av funktionen vilket är bra för oss då vi vill att derivatan ska vara detsamma som funktionen, men vi måste vidare utveckla denna eftersom det inte finns något x i dess derivatan. Det innebär att vi måste jobba med nästa term som är en kvadratisk term och låt oss skriva,
g²(x)=x²
Derivatan av denna blir,
g²´(x)=2x
Derivatan blir inte detsamma som x vilket vi vill ha så vi måste göra oss av med tvåan vilket innebär att koefficienten blir,
a(2)=1/2
Låt oss skriva våran nya funktion och derivatan som,
f(x)=1+x+(1/2)x² och f′(x)=1+x
Okej, mönstret eller våran konstruktion kommer att hålla på i all oändlighet då det finns ingen övre gräns av antalet termer, men vi ska försöka en summationsformel och därefter ska vi se om vad det här är för en funktion. Vi kommer att fortsätta i två termer till eftersom det kommer att vara avgörande för att kunna skriva en summationsformel utav det hela.
Nästa funktion och dess derivata kommer att bli,
g³(x)=x³ och g^3′(x)=3x² (här kan man se att även här fungerar det inte som det ska!)
Vi vill istället att derivatan ska bli
g^3′(x)=(1/2)x²
Det vill säga att koefficienten måste vara,
a(3) = 6 och funktionen därefter blir
g³(x)=(1/6)x³
Nu har våran konstruktion blivit,
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³
Nästa funktion och dess derivata kan vi skriva som,
g^4(x)=x⁴
g^4′(x)=4x³
Då ska fyran bort här och vi kan finna att koefficienten bör vara a(4) = 24. Nu kan man enkelt finna ett mönster
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+(1/(24))x⁴+...=1+x+(1/(2∗1))x²+(1/(3∗2∗1))x³+(1/(4∗3∗2∗1))x⁴+...
Det vill säga att man kan formulera den med hjälp av permutation. En permutation är,
n! = n(n - 1)(n - 2)*...*2*1 och 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2*1, 3! = 3*2*1 och så vidare.
Vi kan alltså skriva våran funktion med hjälp av summationen
f(x)=∑(1/(n!))xⁿ
n är ett oändligt tal och inte begränsad, bara då kan derivatan och funktionen bli samma. Hur som helst är denna bekant? Jo det har är ju definitionen av exponentialfunktionen. Funktionen blir slutligen
f(x)=exp(x)
Och en som har studerat lite derivator vet ju att derivatan av en exponentialfunktion är detsamma som funktionen.
Nästa del kommer jag att ta upp några ytterligare enkla differential ekvationer för att jobba på liknande sett, för att just visa om att det inte handlar om rena gissningar. Del 2 kommer jag att jobba med just differential ekvationen
f′(x)=-f(x)
IN ENGLISH
The linear homogen differential equation (part 1)
Every lectures will be many things to do so I will do this in parts. Alright, one general linear homogen differential equation can be write like
fⁿ(x)+a(n-1)fⁿ⁻¹(x)+...+a(1)f′(x)+a(0)f(x)=0
The next lectures will deal with inhomogen differential quation which means that we have a function g(x) instead of zero on the right hand side. However, all of the a is called coefficients and is in facts constants because this is not depend on the variable x and there f is a function which depend on the variable x. With other word coefficients is a(n - 1),...,a(1),a(0). The first term is the derivate of order n. We want try to find the solution of this system and I hope that the reasons will be comprehensible.
Let us begin with the differential equation with the coefficients a = - 1.
f′(x)-f(x)=0⇔f′(x)=f(x)
The coefficient for this case is a(0) = - 1 and the this one is of the first order. This differential equations show that the derivate is in fact the same as the function. What function behaviour like this? Let us try to create a polynom for this one and the polynom is expressed like
∑a(n)xⁿ=a(0)+a(1)x+a(2)x²+...
(I really wanted to use some other letter n in the left hand side but it seamed to works only for n). This is a polynom, but let us work with every term and thereafter try to find the coefficients. To begin with let us write
g⁰(x)=1
(there the zero only means the index, which even can be compared to the first term in the polynom)
What is the derivate of this? Of course
g⁰´(x)=0
The next step is
g¹(x)=x
The derivate of this one will be
g¹´(x)=1
Now we can create a function and the derivate on the following
f(x) = 1 + x and f´(x) = 1 when the coefficients is a(0) = 1 and a(1) = 1
Which you can see, the derivate is the first term of the function which is good for us when we want that the derivate will be the same as the function, but we must go on with this one because there don´t exist any x in the derivate. That means we want to work with the next term which is a quadratic term and let us write,
g²(x)=x²
The derivate of this one will be
g²´(x)=2x
The derivate is not the same as x which we want to have and we will try to get rid of the 2 which means that the coefficient must be
a(2)=1/2
Let us write our new function and the derivate like,
f(x)=1+x+(1/2)x² och f′(x)=1+x
Alrigt the structure or our construction will be keep do in forever and there don´t exist one over limit about how many terms there are, but we want to find out a summation formula and thereafter try to find out what the kind of function it is. We want to deal with two terms more, because one maybe want to see if there exist a structure to create a formula of the terms.
The next function and it´s derivate will be
g³(x)=x³ och g^3′(x)=3x² (This isn´t work good enought!)
Instead the derivate will be
g^3′(x)=(1/2)x²
This means that the coefficient will be,
a(3) = 6 and the function thereafter will be
g³(x)=(1/6)x³
Our construction is then,
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³
The next function and it´s derivate can be written like
g^4(x)=x⁴
g^4′(x)=4x³
The four should diseaper and we can find out that the coefficient will be a(4) = 24. Now we can find out the structure to be
f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+(1/(24))x⁴+...=1+x+(1/(2∗1))x²+(1/(3∗2∗1))x³+(1/(4∗3∗2∗1))x⁴+...
That means we can formulate with help of permutations. A permutation is,
n! = n(n - 1)(n - 2)*...*2*1 och 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2*1, 3! = 3*2*1 och så vidare.
We can thereafter write our function with help of the sumation formula
f(x)=∑(1/(n!))xⁿ
There n is a infinity number and not limit, only the the derivate and the function can be the same. However is the known? Well it is and this is the exponentialfunctions definition. The function can be write like
f(x) = exp(x)
And one which have do some studies about derivate knew that a derivate of a exponentialfunction is the same as the function.
The next part I want to deal with some more simple differential equation to work likewise, to show that it isn´t only about guessing. The part 2 I want to deal with the differential equation
f ′(x)=-f(x)
Inga kommentarer:
Skicka en kommentar