Lektion 1, del 6 linjära homogena differential ekvationen av andra ordningen

Då kan vi nu reda ut litegrann om andra ordningens homogena differential ekvationer som kan skrivas allmänt som

y´´(x) + ay´(x) + by(x) = 0

Låt oss nu enbart gissa att en specifik lösning är

y(x) = exp(rx)

Därmed efter substitution

((d²)/(dx²))exp(rx) + a(d/(dx))exp(rx) + bexp(rx) = 0 ⇔

r²exp(rx) + arexp(rx) + bexp(rx) = 0 ⇔ r² + ar + b = 0

Okej, vi ser att vi får fram en andragradsekvation där lösningarna kommer att vara,

r = - (a/2) ± √(((a/2))² - b)

Låt oss nu skriva att

c = ((a/2))² - b

Därefter

r = - (a/2) ± √c

Allmänna lösningen blir

y(x) = Aexp(- (a/2) + √c) + Bexp(- (a/2) - √c)

Nu får vi för olika fall beroende om vad c är och vi kommer för varje fall att skriva ut den allmänna lösningen.

Fall 1: Då c > 0

r(1) = - (a/2) + √c och r(2) = - (a/2) - √c

Lösningen för differentialekvationen kan nu skrivas som,

y(x) = Aexp(- (a/2) + √c) + Bexp(- (a/2) - √c)

Fall 2: Då c = 0

r =  - (a/2)

r har enbart en lösning och lösningen till differentialekvationen blir

y(x) = Aexp(-(a/2))

Fall 3: Då c < 0

r(1) = - (a/2) + √c och r(2) = - (a/2) - √c

c är ju ett negativt tal, det vill säga roten ur ett negativ tal blir ett imaginärt tal, låt oss nu skriva att

c = - d där d är ett positivt tal och vi erhåller därmed att

r(1) = - (a/2) + i√d och r(2) = - (a/2) - i√d

Vi kan göra det ännu enklare genom att skriva att

e = √d

Därefter

r(1) = - (a/2) + ie och r(2) = - (a/2) - ie

Lösningen till differentialekvationen kommer att bli

y(x) = Aexp(- (a/2) + ie) + Bexp(- (a/2) - ie)

= exp(-(a/2))*(Aexp(ie) + Bexp(-ie))

= exp(-(a/2))*(Acos(e) + iAsin(e) + Bcos(e) - iBsin(e))

= exp(-(a/2))*((A + B)cos(e) + i(A - B)sin(e))

= exp(-(a/2))*(Ccos(e) + Dsin(e))

Det var för alla fallen, nästa gång för del 7 kan vi räkna med några exempel av linjära homogena differential ekvationer av andra ordningen.