Okej, då tänkte jag gå vidare med denna lektion som handlar om linjära homogena ekvationer. Och nu blir det differential ekvationen
f´(x) = - f(x)
Vi kommer fortfarande att arbeta med polynom och använder samma trix här som för förra fallet. Men det kommer att bli mindre detaljerad, men ändå noggrant som man kan följa efter. Låt oss skriva
f(x) = 1 +... och f´(x) = 0 +...
f(x) = 1 + x +... och f´(x) = 1 +...
Sätt in dessa i differential ekvationen,
f´(x)= - f(x)⇔1+...= - 1 - x+...
Nej den här blir inte korrekt, utan vi måste skriva om våran funktion som
f(x) = 1 - x +... och dess derivata blir f´(x) = - 1 +...
Sätt den nya funktionen in i differential ekvationen
f′(x)= - f(x)⇔ - 1 +...= - 1 + x +...
Nu blev den korrekt, låt oss fortsätta med nästa term, funktionen och dess derivata blir
f(x)=1 - x + x² +... och f′(x) = - 1 + 2x +...
f´(x) = - f(x)⇔ - 1 + 2x +...= - 1 + x - x² +...
Nej inte korrekt tips ifrån föra del lektionen då vi tog genom 2.
f(x)= 1 - x + (1/2)x² +... och f′(x) = - 1 + x +...
f´(x)= - f(x)⇔ - 1 + x+...= - 1 + x - x² +...
Nästa term och låt oss gissa med samma mönster som förra gången genom att ta genom 6 vilket säger sig självt egentligen då när vi deriverar denna så försvinner 3 och vi erhåller delat med 2 vilket blir detsamma som för tredje termen i funktionen,
f(x)= 1 - x + (1/2)x² + (1/6)x³... och f′(x)= - 1 + x + (1/2)x²...
f´(x)= - f(x)⇔- 1 + x+ (1/2)x²...= - 1 + x - (1/2)x²- (1/6)x³...
Nej fjärde termen blir i samma princip som för andra termen och våran funktion kan nu skrivas som
f(x) = 1 - x + (1/2)x² - (1/6)x³...
Det räcker nu för att kunna finna ett mönster och veta vad det här blir för en funktion, använd att
(-1)⁰,(-1)¹,(-1)²,(-1)³,...=1,-1,1,-1,...
Okej, vad är nu detta? Jo vi kan nu skriva om våran funktion som
f(x) = (-1)⁰∗1 + (-1)¹∗x + (1/2)(-1)²∗x² + (1/6)(-1)³∗x³...
Men för att lättare kunna arbeta och se med det här problemet kan vi faktisk definiera en ny funktion som jag kallar för u(x). Vi kan skriva den som,
u(x) = - x
Låt oss nu skriva om funktionen så att f(u(x)) = f(u)
f(u) = 1 + u + (1/2)u² + (1/6)u³...
En bekant polynomfunktion eller? Det är ju exakt identiskt med förra problemet och denna visar sig då vara en exponentialfunktion. Låt oss då skriva att
f(u) = exp(u) = 1 + u + (1/2)u² + (1/6)u³+...
Den funktion vi sökte är då
f(x) = exp(-x)
Då kan vi pröva denna i differentialekvationen,
f´(x) = - exp(-x) = - f(x)
Den här är korrekt och den allmänna lösningen kan nu enkelt skrivas som
f(x) = Aexp(-x)
Nästa problem kommer att vara den allmänna linjär homogena differential ekvation av ordningen 1. Det kommer jag att göra på lektion 1 del 3.
Inga kommentarer:
Skicka en kommentar