Lektion 0: Differentialekvationer

Jag känner mig för att räkna några enkla differential ekvationer och dra igång en kurs då flera inlägg kommer att handla om just differentialekvationerna. Jag tänkte här dela med mig om hur man kan räkna ut olika differentialekvationer med anpasslig metod (det går förstås att använda flera olika metoder för att lösa samma differentialekvation). Därefter är det tänkt att se över om vad man kan använda differentialekvationer till för att lösa verkliga problem.
   För den här kursen kommer jag att gå igenom någonting som kallas för ordinära differentialekvationer vilket i själva verket innebär funktioner med en variabel och nästa differential ekvation kurs blir partiella differential ekvationer, men jag vet inte om jag kommer att ta någonting annat mellan kurserna?

Vad är differential ekvationer för någonting? Låt oss illustrera med några exempel över vanliga ekvationer och differential ekvationer

Ekvationer

    x+3=1
    4z+3=-z

Och differential ekvationer

    ((df(z))/(dz))+3f(z)=0
    ((dg(x))/(dx))-2g(x)=1

Okej vi kan se att den andra handlar om att finna en funktion medan ekvationerna ovanför går ut på att finna tal. Man kan utveckla vidare och även lösa någonting som kallas för integral ekvationer vilket även går ut på att finna en funktion. Det här inlägget är enbart tänkt som en kort introduktion till en grupp av föreläsningar och lektioner om hur man kan använda olika metoder för att lösa differential ekvationer. Hur som helst jag tänker i framtiden istället skriva som i vänsterledet med prim och biss (två stycken "pinnar" ovanför funktionen) och så vidare

f′(z)=((df(z))/(dz))

Nästa lektion ska vi lära oss om hur man löser dem och här tänkte jag bara att ange lösningarna och ni kan själva avgöra om man har rätt eller inte genom att sätta in lösningen i ekvationerna och differentialekvationerna för att se om vänsterledet och högerledet är lika.

De två första bör bli x = -2 och z = - 3/5, lösningarna till diffarna (differentialekvationerna) kommer att bli

    f(z)=Aexp(-3z)
    g(x)=Bexp(2x)-(1/2)

Ja det var en kort intro, nästa gång blir det om hur man faktiskt räknar. Alla intresserade kan ju ta del av kunskaperna. Den här kursen skulle man kunna säga ligga mellan gymnasienivå och universitet och fokuserar mer på hur man lär använda sig av verktygen till olika problem.

Lektion 1: Linjära homogena differential ekvationer, första och högre ordningar
Lektion 2: Linjära inhomogena differential ekvationer, första och högre ordningar
Lektion 3: Separationsmetoden (första ordningen)
Lektion 4: Första ordningens linjära differential ekvationsmetod
Lektion 5: Exakta ekvationsmetoden (första ordningen)
Lektion 6: Integrerande faktorn (första ordningen)

Därefter kommer vi att köra mer i andra ordnings differential ekvationer.

Hur kan kaströrelseekvationerna skrivas som differentialekvationer? Det kommer vi att så småningom att ta en titt på i den här kursen.

IN ENGLISH:

I felt that I want to calculate some simple differential equation and to begin one course on this blog which want to deal with the differential equations. I want to share of my knowledje about how to find the solutions to differential equation with different methods (of course for some differential equation you can choice the method). Thereafter I will show how to use some differential equation to solve real problems in physics for example.
   For this course I want to get throught to something called ordinary differential equations which means that you only want to deal with one variable and the next course I maybe want to deal with partial differential equations which means more than one variable, but maybe I want to do something else between the courses?

   However what is a differential equation? Let us illustrate with some examples over some usual equations and differential equations.

The equations

    x + 3 = 1
    4z + 3 = -z

and the differential equations

    ((df(z))/(dz)) + 3f(z) = 0
    ((dg(x))/(dx)) - 2g(x) = 1
  
Alright we can find out that the second type called differential equation is about to find the function and the equation is to find the number. You can also find the functions through something called the integral quations. This contribution is only thought to be some introduction to a group of lectures about how to use the methods to solve the differential equations. However in the future instead I want to write the prim and biss (which means two pins above the function) which means for example that

f´(z) = df(z)/dz

The next lecture we want to learn about how to solve them, and from this introduction I want to only give the answers to respective equations and differential equations. You can control this for yourselves thought to substitute in the solutions and see if left hand side and right hand side is the same.

   The two first equation have the solutions x = - 2 and z = - 3/5, and the solutions to the differential equations will be

    f(z)=Aexp(-3z)
    g(x)=Bexp(2x)-(1/2)

Yes, this was a short introduction, and the next time will be how to calculate. All of the interest can use this. This course should be on the simple level from the University perspective and more to focus on how to use this to solve some different problem.

Lecture 1: Linear homogen differential equation, first and higher order
Lecture 2: Linear inhomogen differential equation, first and higher order.
Lecture 3: The method of seperation (the first order)
Lecture 4: First order linear differential equation method
Lecture 5: The method of exact differentialeqaution (first order)
Lecture 6: The integrating factor (first order)

Thereafter we want to deal with more methods about how to solve the second order differential equations.